Na verdade, existe uma derivação muito simples da segunda lei na termodinâmica clássica para um gás ideal, assumindo apenas a mecânica clássica e a primeira lei. Aqui está um breve esboço - se isso constitui uma "prova" depende muito do gosto, do nível de rigor desejado e de quão confortável você está com derivações de estilo térmico.
A Primeira Lei da Termodinâmica é:
\ begin {align} dU = dq + dw \ end {align}
onde os diferenciais se referem às mudanças do sistema. Por convenção, definimos um ganho de energia ou calor pelo sistema como positivo, o trabalho realizado no sistema como positivo e o trabalho realizado pelo sistema nas redondezas como negativo.
Sem perda de generalidade, consideramos o trabalho pressão-volume. O trabalho realizado pelo sistema é quantificado pela quantidade de trabalho realizado nos arredores e, portanto, a pressão relevante é a pressão externa $ P_ {ext} $ nos arredores contra os quais o sistema está atuando. Então, o trabalho feito pelo sistema é
\ begin {align} dw = -P_ {ext} dV \ end {align}
Se a pressão interna do sistema for maior que a pressão externa do ambiente,
\ begin {align} P_ {int} \ ge P_ {ext} \ end {align}
então, de acordo com a mecânica clássica, o sistema se expandirá contra os arredores, ou seja, $ dV \ ge 0 $ .
Para uma alteração reversível , as pressões interna e externa são iguais ( $ P_ {int} = P_ {ext} $ ), e assim o trabalho realizado pelo sistema em um processo reversível é
\ begin {align} dw_ {rev} = -P_ {int} dV \ end {align}
Portanto,
\ begin {align}
P_ {int} dV & \ ge P_ {ext} dV \\
-P_ {int} dV & \ le -P_ {ext} dV \\
dw_ {rev} & \ le dw
\ end {align}
o que significa que a magnitude do trabalho realizado pelo sistema nos arredores é máxima durante um processo reversível. Combinar este resultado com a Primeira Lei dá:
\ begin {align}
dq_ {rev} & \ ge dq
\ end {align}
Agora definimos a entropia da função de estado $ S $ classicamente como
\ begin {align}
dS = \ frac {dq_ {rev}} {T}
\ end {align}
A partir da desigualdade anterior para calor reversível, vemos que
\ begin {align}
dS = \ frac {dq_ {rev}} {T} \ ge \ frac {dq} {T}
\ end {align}
que é a desigualdade de Clausius generalizada. Esta é uma declaração matemática completa da Segunda Lei da Termodinâmica. Todas as consequências da Segunda Lei podem ser derivadas dela, incluindo a proposição de que o calor sempre flui espontaneamente do quente para o frio.
A única parte que falta é que não estabelecemos que a entropia $ S $ é uma função de estado para um gás ideal, mas isso pode ser encontrado em qualquer introdução à termodinâmica tratamento (por exemplo, [1]).
[1] https://en.wikiversity.org/wiki/Physics_equations/Introduction_to_entropy