Questão:
Eventualmente, os pêndulos duplos são periódicos?
Keshav Srinivasan
2017-10-18 03:18:25 UTC
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Muitas vezes ouvi dizer que o movimento de um pêndulo duplo não é periódico. (Isso pode estar relacionado ao fato de ser um sistema caótico, mas não tenho certeza disso.) Mas isso não me parece possível, pelo seguinte motivo. Sejam $ \ theta_1 $ e $ \ theta_2 $ os ângulos das duas massas em relação à vertical. Então, podemos considerar o espaço de fase bidimensional com um eixo $ \ theta_1 $ e um eixo $ \ theta_2 $, e o movimento do pêndulo duplo é uma curva contínua $ \ gamma: [0, \ infty) \ rightarrow [0 , 2 \ pi] \ times [0,2 \ pi] $. A questão é que tenho quase certeza de que essa curva deve se auto-cruzar. Porque, se não houver interseção automática, seu gráfico cobriria cada vez mais o codomínio com o tempo, então acho que você obteria uma curva de preenchimento de espaço. E, no entanto, as curvas de preenchimento de espaço sempre se auto-cruzam, então você obteria uma contradição. Portanto, $ \ gamma $ deve se auto-interseccionar e, portanto, o movimento de um pêndulo duplo é sempre periódico.

Então, o que há de errado com meu raciocínio? Ou meu raciocínio está correto, e o movimento de um pêndulo duplo é sempre periódico, apenas com um período tão longo que parece não periódico? Em caso afirmativo, existe uma fórmula para o período?

Eu acho que alguém poderia considerar um sistema caótico com um período infinitamente longo ...
@JonCuster Bem, se meu raciocínio estiver correto, o período deve ser finito.
Por que existe um número finito de pontos em seu espaço de fase?
@JonCuster Não há um número finito de pontos.Certamente a cardinalidade de $ [0,2 \ pi] \ times [0,2 \ pi] $ é infinita.Só estou dizendo que $ \ gamma $ deve ter uma autointerseção e, se houver uma autointerseção, devido à conservação da energia, deve ser uma curva fechada, de modo que o movimento do pêndulo duplo deve ser periódico com período finito.
$ \ gamma (t) = (t ^ {- 1}, \ cos (t)) $ é um exemplo de uma curva contínua sem auto-interseção, então você sabe que seu raciocínio é falso e está faltando algumas suposições!
@NeuroFuzzy Não tive a intenção de sugerir que você não pode ter uma curva sem auto-intersecção contínua, mas que você não pode ter uma em que o intervalo seja limitado (e o domínio seja ilimitado).
@KeshavSrinivasan minha curva não tem interseção e mapeia de $ [1, \ infty] $ em $ [0,1] \ times [-1,1] $.
As respostas já explicaram várias coisas erradas com a premissa, mas parece importante apontar que sua noção de uma curva de preenchimento de espaço não está correta.Por exemplo, em um toro $ T ^ 2 = \ mathbb R ^ 2 / (2 \ pi \ mathbb Z) ^ 2 $ (o espaço em que $ \ theta_1 $ e $ \ theta_2 $ vivem), uma linha de inclinação irracionalé uma curva $ \ mathbb R \ rightarrow T ^ 2 $ que tem imagem densa, mas não preenche o espaço (na verdade, sua imagem é medida 0).Embora se repita com freqüência infinita aproximadamente (como no teorema de recorrência de Poincaré), é uma injeção.
@LoganM Interessante, eu não sabia que uma curva contínua poderia ser densa e não se auto-cruzar, mas ainda tinha medida zero.Em todo caso, você sabe se a trajetória de um pêndulo duplo é um exemplo desse fenômeno?
@KeshavSrinivasan Minha expectativa ingênua é que uma trajetória de pêndulo duplo "genérico" (no espaço de posição, não no espaço de fase) se auto-interseccione, mas não conheço nenhuma prova disso.Eu sei que a trajetória nunca preenche o espaço, o que na verdade decorre apenas do fato de que a curva é diferenciável.Além disso, como a resposta de eranreches explica, a dinâmica do sistema é determinada não apenas por $ \ theta_1, \ theta_2 $, mas também por seus momentos conjugados, portanto, mesmo que uma trajetória se auto-interseccione, não é necessariamente periódica (e de fatoraramente é periódico).
Para elaborar os pontos acima: a prova usual de que uma curva de preenchimento de espaço se autointercepta é que $ [0,1] $ é compacta, $ [0,1] \ times [0,1] $ é Hausdorff, equalquer mapa bijetivo contínuo de um espaço compacto para um espaço de Hausdorff é um homeomorfismo.Como os dois espaços não são homeomórficos e o mapa de curvas é sobrejetivo, ele não pode ser injetivo e, portanto, deve haver pontos de autointerseção.No entanto, esta prova não funciona se você tentar mapear $ [0, \ infty) $ para o quadrado da unidade, uma vez que $ [0, \ infty) $ não é compacto.
@MichaelSeifert Então isso significa que existe uma curva de preenchimento de espaço que não se auto-intercepta, onde o domínio de $ \ gamma $ é $ [0, \ infty) $?Você tem um exemplo de tal curva?
Quando escrevi esse último comentário, não sabia a resposta para essa pergunta.No entanto, agora acho que [esta resposta em Math.SE] (https://math.stackexchange.com/a/43098/248639) poderia ser estendida para provar que não há bijeção contínua de $ [0, \ infty)$ a $ [0,1] ^ 2 $.(Considere as imagens $ f | _ {[0, n]} $ em vez das imagens $ f | _ {[- n, n]} $).
Não é verdade nem mesmo no limite para ângulos infinitesimalmente pequenos.Para uma escolha adequada de comprimentos das hastes, as frequências relativas dos dois modos podem ser qualquer coisa - por exemplo $ 1 $ e $ \ sqrt 2 $ Hz.
Uma coisa que você pode fazer é escrever a Lagrangiana para o sistema e resolver a equação de Euler-Lagrange para obter as equações do movimento.Você verá que o movimento do pêndulo duplo é errático / caótico e geralmente não é periódico.
Eu acho que seu espaço de fase está faltando algumas dimensões.
Trzy respostas:
eranreches
2017-10-18 04:27:32 UTC
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Sresposta curta: Não. As trajetórias gerais do pêndulo duplo não são periódicas no.

Você precisa distinguir entre dois aspectos: a trajetória no sistema de coordenadas espaciais e a trajetória no espaço de fase.

Sua afirmação sobre $ \ gamma $ é sobre o primeiro aspecto e, portanto, é falsa. É perfeitamente normal que as trajetórias se cruzem no espaço real, e isso não significa que a solução seja periódica.

No entanto, no espaço de fase é proibido que diferentes trajetórias se cruzem (devido à singularidade da solução de EDOs dadas as condições iniciais). E se o fizerem, você está correto ao dizer que a dinâmica é periódica. Na verdade, observe que pode ser que a massa viaje pelo mesmo ponto espacial duas vezes, mas pode ser com velocidades diferentes.

Como @agemO sugeriu no comentário abaixo, é importante frisar que embora a solução não seja periódica, parece que está chegando perto (o que provavelmente é o que confunde você). Suponha, por exemplo, que a massa comece em um ponto $ (x, y) $ no plano XY com o vetor velocidade $ (v_ {x}, v_ {y}) $. Então, de acordo com o Teorema de recorrência do Poincare, depois de algum tempo a massa irá viajar tão perto quanto você deseja daquele ponto com uma velocidade muito semelhante - mas não há garantia de que sejam iguais. Em outras palavras, o movimento é tão próximo quanto você deseja que seja periódico, mas ele perde, e o comportamento resultante é caótico.

Há outro teorema muito interessante que também deve valer a pena ser declarado neste caso. É chamado Poincare Bendixson Theorem e afirma que uma trajetória capturada no espaço de fase 2D deve eventualmente se repetir (visto que a região de captura não contém pontos fixos). Mas, neste caso, o espaço de fase é 4D e o teorema não se aplica.

"Na verdade, observe que pode ser que a massa viaje pelo mesmo ponto espacial duas vezes, mas pode ser com velocidades diferentes."Não, isso não é possível, por causa da conservação de energia.É por isso que digo que, se $ \ gamma $ alguma vez retornar ao mesmo ponto, o movimento deve ser periódico.
A velocidade tem direção e magnitude.A magnitude deve ser a mesma, mas a direção não.
A direção não tem liberdade, tem que ser tangencial ao fio.Depois de saber a posição, isso é o suficiente para determinar a direção.
Mas você tem duas hastes.Acho que isso te dá essa liberdade.
Isso realmente lhe dá essa liberdade!Para $ m_1 = m_2 = \ ell_1 = \ ell_2 = g = 1 $, temos $ E = \ ponto {\ theta} _1 ^ 2 + \ cos (\ theta_1- \ theta_2) \ ponto {\ theta} _1 \ ponto {\ theta} _2 + \ frac {1} {2} \ dot {\ theta} _2 ^ 2 + 2 \ sin (\ theta_1) + \ sin (\ theta_2) $, que para qualquer $ E dado, \ theta_1, \ theta_2 $ tem um continuumde soluções em $ \ dot {\ theta} _1 $ e $ \ dot {\ theta} _2 $.
@eranreches Não lhe dá nenhuma liberdade.A direção da velocidade da primeira massa é tangencial à primeira coluna e a direção da velocidade da segunda massa é tangencial à segunda coluna.E as configurações das duas strings são completamente determinadas por $ \ theta_1 $ e $ \ theta_2 $.
@NeuroFuzzy E quando você considera a conservação do momento angular também?Isso pode eliminar essa liberdade.
Observe que em um potencial gravitacional não há simetria rotacional e, portanto, o pêndulo duplo não conserva o momento angular.
@KeshavSrinivasan: Um pêndulo * simples * passa por seu ponto mais baixo repetidamente com várias velocidades.Você parece estar argumentando que isso nunca acontece.Em um pêndulo duplo, defina os ângulos iniciais para $ 0 $ (ou seja, direto para baixo).Você parece afirmar que tenho apenas uma escolha de velocidades angulares iniciais, o que é absurdo.
"Um pêndulo simples passa por seu ponto mais baixo repetidamente com várias velocidades. Você parece estar argumentando que isso nunca acontece."Sim, eu realmente digo que nunca acontece.Isso é uma consequência da conservação da energia: em seu ponto mais baixo, toda a sua energia é cinética, então (1/2) mv ^ 2 é o mesmo toda vez que atinge o ponto mais baixo e, portanto, a velocidade é a mesma todas as vezes.
A magnitude é a mesma, a direção não (mais \ menos diferença).Embora para um pêndulo simples o movimento seja realmente periódico.
Então a resposta é sim ou não?Pelo teorema de Poincarré, eu diria que sim, mas você parece sugerir o contrário.
@agemO De que caso você está falando?Pêndulo simples ou duplo um?
O duplo como na pergunta original
@agemO Bem, neste caso o espaço de fase é 4D e o teorema não se mantém.O teorema é aplicável apenas para espaços de fase 2D.O significado disso é que não há caos para a dinâmica da dimensão do espaço de fase inferior a 3.
Estou falando sobre https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem não https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9%E2%80%93Bendixson_theorem
O teorema de recorrência @agemO Poincare não diz nada sobre as órbitas periódicas.Afirma que o sistema será arbitrário próximo a estados anteriores em tempos posteriores.Não é o mesmo.E também não diz nada sobre o tempo que leva para isso acontecer.Na verdade, isso parece causar confusão: a trajetória espacial da massa se cruza muitas vezes e parece que o movimento é periódico, mas na verdade não é.Muito perto disso.
Na verdade, não é realmente periódico.Você deve adicionar um "não" claro à sua resposta.Não é apenas uma confusão de espaço real / espaço de fase, porque aplicar o raciocínio ao espaço de fase leva ao teorema de Poncarré, que eu acho que está próximo do que a op significava (ou seja, se você esperar muito tempo, claramente não há outra solução senão passar perto deponto inicial do espaço da fase).Também é confuso em relação aos limites e ao infinito.
Obrigado @agemO.Editei minha resposta como você sugeriu.Deixe-me saber se você acha que devo acrescentar algo mais.
Será que "trajetórias gerais do pêndulo duplo não são periódicas" significa "** todas ** as trajetórias de todos os pêndulos duplos não são periódicas" resp: "** nenhuma ** trajetória de qualquer pêndulo duplo é periódica"?Ou significa "** em geral ** as trajetórias de pêndulos duplos não são periódicas (mas há exceções)"?
@HansStricker Eu quis dizer sua segunda interpretação.Na verdade, existe, por exemplo, uma trajetória onde ambas as massas oscilam com o mesmo ângulo em relação ao tempo.No entanto, observe que esta trajetória não é estável a pequenas perturbações devido à natureza caótica do sistema.Isso significa que mesmo uma ligeira imprecisão nas condições iniciais levará a resultados totalmente diferentes.Assim, no mundo real, seria quase impossível definir tal movimento.
E mesmo no mundo simulado (por causa da precisão finita)?Portanto, nunca se poderia ver tal movimento?Ou pode ter um formulário fechado, para que você não precise usar o Runge-Kutta?
O que exatamente você quer dizer com "o mesmo ângulo vs. tempo"?
@HansStricker Se você tentar resolver a equação geral no computador, provavelmente está certo.Mas você pode evitar isso definindo $ \ theta_1 = \ theta_2 $ e resolvendo para um único ângulo.
Mas o que significa "definir $ \ theta_1 = \ theta_2 $"?Por que devo fazer isso?Por que posso fazer isso?
@HansStricker Significa que você se confina à parte $ \ theta_1 = \ theta_2 $ e $ \ dot {\ theta} _1 = \ dot {\ theta} _2 $ de todo o espaço de fase 4D.Se você puder encontrar uma solução que permaneça aí, ela também existirá em todo o espaço da FASE.
sammy gerbil
2017-10-18 06:40:16 UTC
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Na Wikipedia, o espaço de fase de um sistema dinâmico é definido como

... um espaço no qual todos os estados possíveis de um sistema são representados, com cada estado possível correspondendo a um único ponto no espaço de fase. Para sistemas mecânicos, o espaço de fase geralmente consiste em todos os valores possíveis das variáveis ​​de posição e momento.

Para o pêndulo duplo, existem duas variáveis ​​de posição $ \ theta_1, \ theta_2 $ e duas variáveis ​​de momento $ \ dot \ theta_1, \ dot \ theta_2 $. Portanto, o espaço de fase é 4 dimensional. Se o sistema retornar ao mesmo ponto em seu espaço de fase, seu movimento se repetirá, porque o estado do sistema é idêntico ao seu estado anterior, então seu movimento subsequente é idêntico.

O espaço bidimensional com eixos $ \ theta_1, \ theta_2 $ é not o espaço de fase para este sistema. É apenas uma projeção ou "sombra" do espaço da FASE.

Cada ponto no plano 2D $ (\ theta_1, \ theta_2) $ corresponde a um número infinito de pontos no espaço de fase 4D, cada um com uma combinação diferente de $ (\ ponto \ theta_1, \ ponto \ theta_2) $ . O sistema pode retornar à mesma posição $ (\ theta_1, \ theta_2) $ com uma combinação diferente de momentos $ (\ ponto \ theta_1, \ ponto \ theta_2) $ a cada vez. A trajetória no plano 2D $ (\ theta_1, \ theta_2) $ pode passar pelo mesmo ponto um número infinito de vezes sem refazer o mesmo caminho, porque cada uma dessas interseções corresponde a um estado diferente do sistema.

Portanto, é possível que o pêndulo duplo nunca retorne ao mesmo ponto em seu espaço de fase 4D e, portanto, seu movimento pode ser não periódico.

CR Drost
2017-10-18 04:34:07 UTC
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Portanto, seu argumento não está totalmente correto por causa da existência de curvas de preenchimento de espaço e fractais e semelhantes; para tomar um exemplo simples, imagine uma espiral sobre todo o plano $ \ mathbb R ^ 2 $, claramente sem se auto-interceptar, e recorte o círculo unitário dele, em seguida, mapeie-o de acordo com a transformada de Möbius $ (x, y) \ mapsto \ left (\ frac x {x ^ 2 + y ^ 2}, \ frac y {x ^ 2 + y ^ 2} \ right). $ Esta transformação mapeia o exterior do círculo unitário no círculo, mas é totalmente invertível e não pode causar autointerseção. (Também é conforme e algumas outras coisas legais que realmente não importam aqui.) O que você obteria, se olhar para isso como um espaço de fase, seria um oscilador harmônico com dissipação que nunca permite que ele pare totalmente mas sempre drena um pouquinho de energia da coisa. Provavelmente, seria possível descobrir que no espaço de fase 4D de um pêndulo duplo haveria hamiltonianos estranhos que conservam energia e ainda assim fazem isso. As trajetórias nunca precisam ser periódicas com precisão.

O que você pode provar é que, para um número assustadoramente grande de sistemas, a grande maioria dos caminhos "próximos" para esses excepcionais, no entanto, voltará para "perto" de onde vieram, que em geral você verá um padrão de física de $ 0 < t < \ tau $ e então você verá uma cópia arbitrariamente próxima disso de $ T < t < T + \ tau $ para algum $ T $ grande. Isso é conhecido como teorema de recorrência de Poincaré.

"Portanto, seu argumento não está totalmente correto por causa da existência de curvas de preenchimento de espaço e fractais e coisas do tipo" Na verdade, as curvas de preenchimento de espaço sempre se auto-cruzam.
@KeshavSrinivasan Mas, neste caso, a curva não precisa realmente preencher o espaço.A espiral é um bom exemplo;ele nunca preencherá totalmente qualquer área, mas também não se autointerectará.Em vez disso, a distância entre revoluções consecutivas fica cada vez menor.


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