Se você sabe onde está o centro de massa, o torque será:
$$ \ boldsymbol {\ tau} = \ mathbf {R} \ times \ mathbf {W} $$
Onde $ \ mathbf {R} $ é o vetor do ponto pendurado que aponta para o centro de massa e $ \ mathbf {W} $ é o vetor do peso apontando para baixo.
Concluímos que o único arranjo possível para um equilíbrio, aqui, é que o centro de massa fique sob o ponto de suspensão entre a borda da mesa e a extremidade da régua.
Isso criará um sistema autorregulado. Que é exatamente a ideia de um equilíbrio estável.
Se o sistema for empurrado para qualquer lado, o torque tenderá a puxar o sistema de volta ao seu estado de equilíbrio.
EDITAR em resposta ao comentário:
Eu geralmente prefiro falar menos e deixar minha matemática falar com você, tanto quanto eu puder.
Minha abordagem foi direta usando as relações mais compactas. Especifiquei o local relativo necessário do COM para que o arranjo estivesse em equilíbrio. E como a gravidade é apenas uma constante, ela não fará nenhuma diferença.
A única parte que acho que requer um pouco de reflexão é como cheguei à conclusão de onde o COM deve estar. É assim que:
Se você girar o sistema no sentido horário (em relação à imagem fornecida), o ponto pendurado será a ponta da régua. Portanto, o COM deve estar à esquerda dele.
Se o sistema girar no sentido anti-horário, o COM será o ponto de contato da régua e a borda da mesa, portanto, o COM deve estar à direita do ponto de suspensão.
O único lugar possível para o COM satisfazer as condições acima é que sua projeção para a mesa esteja entre os dois pontos suspensos sobre os quais falamos. E deve estar abaixo da mesa para fazer um equilíbrio estável.
Se você quiser um equilíbrio mais confiável, deve aumentar o torque. Você pode aumentar a massa do sistema para que $ \ mathbf {W} $ aumente.
As outras duas maneiras são aumentar o ângulo entre dois vetores e aumentar o braço de alavanca.Não posso afirmar com certeza sobre esses dois porque eles afetam um ao outro.