O problema aqui é que ainda não há um operador de fase auto-adjunta "legítimo". Ao formular o problema, você assume que $ \ hat \ phi $ e $ \ hat L_z $ teriam as mesmas relações de comutação que $ \ hat x $ e $ \ hat p $, e em particular dado que $ \ hat L_z \ mapsto -i \ hbar d / d \ phi $ o operador $ \ hat \ phi $ seria a multiplicação de uma função arbitrária $ f (\ phi) $ por $ \ phi $, ie $$ \ hat L_zf (\ phi) = - i \ hbar \ frac {df} {d \ phi} \,, \ qquad \ hat \ phi f (\ phi) = \ phi f (\ phi) $$ Até agora está tudo bem, exceto que, quando se trata da condição de contorno, devemos ter $ f (\ phi + 2 \ pi) = f (\ phi) $. No entanto, a função $ \ phi f (\ phi) $ não satisfaz isso. Como resultado, a ação de um suposto $ \ hat \ phi $ conforme definido acima assume uma função "legal" $ f (\ phi) $ que satisfaz as condições de contorno para uma função "ilegal" $ \ phi f (\ phi) $, e faça $ \ hat \ phi $ NÃO auto-adjunto (o que significa problemas).

A relação de incerteza assume que os operadores envolvidos são auto-adjuntos. Visto que não há (até agora) nenhuma definição conhecida de $ \ hat \ phi $ que o torne auto-adjunta, a quantidade $ \ Delta \ phi $ não pode ser calculada da maneira usual e, de fato, não é necessariamente bem definida para estados arbitrários. Em outras palavras, não há razão matemática para acreditar que $ \ Delta \ phi \ Delta L_z \ ge \ hbar / 2 $.

De fato, um "problema" óbvio com sua expressão é obtido tomando $ f (\ phi) $ como um estado próprio de $ \ hat L_z $. Então, claramente $ \ Delta L_z = 0 $, então a variância putativa $ \ Delta \ phi $ teria que ser arbitrariamente grande, o que é impossível dado que $ \ phi $ fisicamente varia de $ 0 $ a $ 2 \ pi $.

O problema de construir um operador de fase auto-adjunta é antigo. Tem sido o assunto de várias perguntas neste site, incluindo este. Encontrar uma boa definição de um operador de fase continua sendo um problema de pesquisa em aberto.

Editar: adicionado alguns esclarecimentos após uma consulta.

Para complementar a resposta de ZeroTheHero, é possível deduzir relações de incerteza usando os operadores $ \ cos \ phi $ e $ \ sin \ phi $ porque agora eles obtêm a periodicidade necessária para corresponder ao que $ L_z $ espera. Consulte a seção 4 em [1].

Aqui está um resumo dos principais resultados. As relações de comutação são (em $ \ hbar = 1 $ unidades),

$$ \ begin {align} [\ sin \ phi, L_z] & = i \ cos \ phi, \\ [\ cos \ phi, L_z] & = -i \ sin \ phi, \ end {align} $$

levando às relações de incerteza

$$ \ begin {align} (\ Delta L_z) ^ 2 (\ Delta \ sin \ phi) ^ 2 & \ ge \ frac {1} {4} \ langle \ cos \ phi \ rangle ^ 2, \\ (\ Delta L_z) ^ 2 (\ Delta \ cos \ phi) ^ 2 & \ ge \ frac {1} {4} \ langle \ sin \ phi \ rangle ^ 2. \ end {align} $$

Mas a beleza desta abordagem é que, ao escolher um estado suficientemente localizado sobre um ângulo $ \ phi_0 $, ao realizar uma expansão de Taylor em $ \ delta \ phi = \ phi- \ phi_0 $, eles degeneram para

$$ \ Delta L_z \ sqrt {\ langle (\ delta \ phi) ^ 2 \ rangle} \ ge \ frac {1} {2}, $$

que é um tipo de relação de incerteza com $ \ Delta \ phi = \ sqrt {\ langle (\ delta \ phi) ^ 2 \ rangle} $. Porém, é aproximado.

[1] P. Carruthers e Michael Martin Nieto, Variáveis ​​de fase e ângulo em mecânica quântica, Rev. Mod. Phys. 40 (1968), 411–440

Vou dar duas respostas, uma ingênua e outra nobre. A resposta ingênua é que $ \ Delta \ phi $ pode ser maior que $ 2 \ pi $. Considere a derivação ingênua da relação de incerteza ângulo / momento angular da posição / momento linear um: simplesmente multiplicamos $ \ Delta \ phi = \ Delta x / R $ e $ \ Delta L = R \ , \ Delta p $, onde $ R $ é o raio de rotação. Agora a questão fica clara $ \ Delta x / R $ ainda pode assumir valores arbitrariamente grandes, é apenas o fato de interpretá-los módulo $ 2 \ pi $ que os torna "limitados". Em outras palavras, o ângulo "verdadeiro" deve ser medido na cobertura universal do círculo, que é $ \ mathbb {R} $, e pode assumir valores arbitrariamente grandes, pois representa toda a história do movimento a partir da "inicial "posição.

A explicação acima é clássica demais para funcionar no sentido rigoroso. Para sermos rigorosos, temos que substituir os ângulos clássicos e momentos angulares por operadores auto-adjuntos, que satisfaçam a relação de comutação canônica $ [\ hat L_z, \ hat \ phi] = i \ hbar $ (ou seja, são "conjugados"). Os problemas com a definição de tal par são discutidos em Teoria quântica dos ângulos de rotação de Barnett e Pegg, da qual cito:

" Se representarmos um operador de momento angular como $ \ hat L_z = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $ e o operador de ângulo como a multiplicação por $ P $, então o comutador (2.4) é satisfeito. No entanto, esta representação do operador de ângulo causa problemas. Se $ u (\ phi) $ é uma função de onda periódica, então $ \ phi u (\ phi) $ não será e, portanto, está fora do espaço de estado do momento angular. Judge e Lewis perceberam que os autovalores de um operador de ângulo bem comportado teriam que ser restritos a um intervalo de $ 2 \ pi $. A solução deles foi modificar o operador de ângulo para que correspondesse à multiplicação por $ \ phi $ mais uma série de funções de etapa. Essas funções de etapa alteram drasticamente o ângulo em $ 2 \ pi $ nos pontos apropriados. A relação de comutação resultante entre este operador e $ \ hat L $ tem um termo de função $ \ delta $ além de o $ i \ hbar $ termo do comutador (2.4) ...

Outra abordagem é evitar o problema de valor múltiplo, não lidando com um operador de ângulo de Hermit, mas apenas funções periódicas do operador de ângulo. Naturalmente, essa abordagem não nos permite investigar as propriedades do operador de ângulo em si. "

O segundo parágrafo é a versão rigorosa da resposta ingênua acima. Para os operadores do tipo Judge-Lewis, a relação de incerteza é modificada em $ \ Delta \ hat \ phi \ Delta \ hat L_z \ gtrsim \ frac12 \ hbar | 1-2 \ pi P | $, onde $ P $ é a densidade de probabilidade angular no limite da faixa angular, ou seja, no ponto $ \ pi $ / $ - \ pi $, onde as funções $ \ delta $ residem. Em particular, pode haver estados que exibem uma descontinuidade no gradiente em $ \ pi $, mas os estados de incerteza mínima não exibem tal descontinuidade, consulte Princípio de incerteza para posição angular e momento angular de Franke-Arnold et al.