Sabemos que para uma variável de posição $ x $ e momento $ p $, as incertezas das duas quantidades são limitadas por
$$ \ Delta x \ Delta p \ gtrsim \ hbar $$
Agora, isso geralmente é explicado primeiro com $ x $ sendo uma posição simples medida linearmente e $ p $ sendo o momento linear. Mas deve se aplicar a qualquer boa coordenada e seu momento conjugado. Deve, por exemplo, aplicar-se ao ângulo $ \ phi $ sobre o eixo $ z $ e momento angular $ L_z $:
$$ \ Delta \ phi \ Delta L_z \ gtrsim \ hbar $$
A questão é que $ \ Delta \ phi $ nunca pode ser maior que $ 2 \ pi $. Quer dizer, você deve ter algum valor de $ \ phi $ e $ \ phi $ só vai de 0 a $ 2 \ pi $. Portanto
$$ \ Delta L_z \ gtrsim \ hbar / \ Delta \ phi \ geq \ hbar / 2 \ pi $$
Mas, uh-oh! Isso significa que é impossível para $ \ Delta L_z $ ser zero, e nunca devemos ser capazes de ter estados de momento angular com valores $ L_z $ definidos.
Claro, não significa isso. Mas nunca descobri como isso não está em contradição com a eqn de Schroedinger. cálculos que nos fornecem estados com valores definidos de $ L_z $. Alguém pode me ajudar?
Uma resposta que prevejo é que $ \ phi $ é meio "abstrato", pois se você escolheu sua origem em algum outro ponto, obterá valores completamente diferentes de $ \ phi $ e $ L_z $, e ipso facto , as considerações usuais não se aplicam. Eu não acho que isso vai funcionar, no entanto. Considere uma "conta quântica" deslizando em um anel circular rígido e você terá exatamente o mesmo problema sem ambigüidade em $ \ phi $ ou $ L_z $. (Bem, haverá alguma ambigüidade limitada em $ \ phi $, mas ainda assim, não haverá em $ L_z $.)