Darei a resposta a essa pergunta usando um método incomum que apareceu na seção de problemas do American Mathematical Monthly, talvez no final dos anos 1970. Esta não é necessariamente a maneira fácil de resolver o problema, mas funciona muito bem do ponto de vista algébrico.

A maneira como a maioria das pessoas resolve a maioria dos problemas de resistência é usar regras de resistores em série e em paralelo. São matematicamente elegantes, pois envolvem apenas resistência. Mas este circuito não pode ser reduzido a regras de série e paralelas (isso é verdade se você escrever uma série infinita em R3, talvez?), Então provavelmente o método mais simples é aplicar uma tensão de V ao circuito e usar álgebra para calcular a corrente total. Isso é deselegante (mas físico) na medida em que apresenta outras idéias além da própria resistência.

O método "delta" mencionado por Manishearth, (mas neste momento não funcionou de fato para a resposta final) é como um EE resolveria o problema. Ele tem a vantagem de manter a resistência, mas envolve mudanças um tanto não intuitivas na topologia do circuito.

O método que estou dando aqui usa apenas resistências e ilustra uma solução geral para esse tipo de problema. Se generalizamos $ R_k $ para números complexos $ Z_k $, ele pode ser usado para impedâncias gerais (como pode o método delta), mas é mais geral do que o método delta. Também pode ajudar no entendimento do aluno sobre a resistência da folha, então acho que vale a pena digitar:

Primeiro, substituímos os resistores por um material fino e plano que por acaso tem um " resistência da folha "de 1 ohm por quadrado. Com tal material, se recortarmos um retângulo de dimensões 1 x R, obteremos uma resistência de R ohms entre dois condutores fixados nos lados de 1 comprimento:

Agora, a questão da resistência da folha é que você pode escalar o resistor para qualquer tamanho que desejar; contanto que você mantenha a proporção dos comprimentos laterais como "R", o resistor resultante terá resistência R. A folha pode ser composta de pequenas folhas que são coladas umas às outras. Para fazer a colagem corretamente, precisamos usar cola isolante para as conexões horizontais e cola condutora para as verticais. Isso ocorre porque a corrente flui apenas da esquerda para a direita. Então a cola isolante não ajuda ou atrapalha o fluxo de corrente, e as conexões verticais não importam porque toda a cola condutora tem a mesma voltagem de qualquer maneira. Eu vi este método de computação de resistores em uma solução para o problema E2459 no American Mathematical Monthly, fevereiro de 1975.

Portanto, substitua o circuito fornecido por um em que cada resistor é substituído por um região retangular com dimensões adequadas à sua resistência. Ao fazer isso, temos que fazer uma suposição sobre a forma como a corrente flui através do resistor R3. Vou assumir que flui de cima para baixo. E para definir uma escala para a coisa toda, vamos fazer com que a dimensão vertical de R3 seja o comprimento 1. Isso nos dá o seguinte desenho:

Agora, o circuito geral tem um resistência dada pela proporção de seu comprimento para sua largura:
$$ R = L / W = (R_1 x_1 + R_2x_2) / (x_1 + x_4) $$ Existem quatro incógnitas, $ \ {x_1, x_2, x_4 , x_5 \} $. A comparação das dimensões horizontais dá duas equações independentes:
$$ R_1x_1 = R_4x_4 + R_3, $$$$ R_5x_5 = R_3 + R_2x_2. $$ E a comparação das dimensões verticais dá:
$$ x_1 = 1 + x_2, $$ $$ x_5 = 1 + x_4. $$
Isso elimina $ x_1 $ e $ x_5 $ para dar duas equações independentes em duas incógnitas:
$$ R_1 + R_1x_2 = R_4x_4 + R_3, $$$$ R_5 + R_5x_4 = R_3 + R_2x_2. $$ Ou:
$$ R_1x_2 - R_4x_4 = R_3-R_1, $$$$ - R_2x_2 + R_5x_4 = R_3-R_5. $$ Estes resolvem para dar:
$$ x_2 = \ frac {R_3R_5-R_1R_5 + R_3R_4-R_4R_5} {R_1R_5-R_2R_4}, $$
$$ x_4 = \ frac {R_1R_3-R_1R_5 + R_2R_3-R_1R_2} {R_1R_5-R_2R_4}, $$
e assim br> $$ x_1 = \ frac {R_3R_5-R_2R_4 + R_3R_4-R_4R_5} {R_1R_5-R_2R_4}, $$
$$ x_5 = \ frac {R_1R_3-R_2R_4 + R_2R_3-R_1R_2} {R_1R_5-R_2_4}, $$ Precisamos de $ W = x_1 + x_4: $
$$ W = \ frac {R_3 (R_1 + R_2 + R_4 + R_5) - (R_1 + R_4) (R_2 + R_5)} {R_1R_5-R_2R_4} $ $ e $ L = R_1x_1 + R_2x_2: $
$$ L = \ frac {R_3 (R_4 + R_5) (R_1 + R_2) -R_1R_2 (R_4 + R_5) -R_4R_5 (R_1 + R_2)} {R_1R_5-R_2R_4 } $$ então a resistência total é:
$$ R = L / W = \ frac {R_1R_4 (R_2 + R_5) + R_2R_5 (R_1 + R_4) -R_3 (R_4 + R_5) (R_1 + R_2)} { (R_2 + R_5) (R_1 + R_4) -R_3 ((R_1 + R_2) + (R_4 + R_5))}. $$ No acima, agrupei os termos para deixar claro que isso dá a resposta correta no limite de $ R_3 $ vai para $ 0 $ ou $ \ infty $.

Use uma transformada estrela-delta para simplificar parte do circuito. Você também pode usar o princípio de sobreposição.

  A x ---- x ----- [1] ----- x ----- [2] ----- x ---- x B | | | [4] [3] [5] | | | | ------------- x ------------- | 

$ \ uparrow $ Fig.1. Circuito original do OP.

Conforme sugerido por Manishearth, pode-se realizar uma $ Y $ - $ \ Delta $ transform a partir de $ Y $ -resistências $ R_1 $, $ R_2 $ e $ R_3 $, para $ \ Delta $ -condutâncias $ G_1 $, $ G_2 $ e $ G_3 $ (usando uma convenção de rotulagem simétrica $ 123 $), cf. Fig.2 abaixo.

  A x ---- x ------ x ----- [3] ----- x ------ x ---- x B | | | | [4] [2] [1] [5] | | | | | ------ x ------------- x ------ | 

$ \ uparrow $ Fig.2. Um circuito $ \ Delta $ equivalente ao circuito original do OP.

Em termos de fórmulas, a transformação $ Y $ - $ \ Delta $ é dada como $$ G_i ~: = ~ R_i \ frac {\ soma_ {j = 1} ^ 3 R_j} {\ prod_ {k = 1} ^ 3 R_k} ~ = ~ R_i \ frac {R_1 + R_2 + R_3} {R_1 R_2 R_3}, \ qquad \ qquad i = 1,2 , 3. $$

O circuito $ \ Delta $ -equivalente na Fig.2 pode ser visto como composto apenas de resistores em série e paralelo. A condutância equivalente entre $ A $ e $ B $ torna-se, portanto,

$$ \ frac {1} {R} ~ = ~ G_3 + \ frac {1} {\ frac { 1} {G_2 + \ frac {1} {R_4}} + \ frac {1} {G_1 + \ frac {1} {R_5}}}. $$

(Finalmente, vamos mencionar que também é possível aplicar a transformação $ Y $ - $ \ Delta $ a outros triplos dos cinco resistores além de $ 123 $.)

Aqui está como eu faria, seguindo o método descrito por kleingordon em um comentário. Este método é menos legal, mas mais geral do que a resposta de Carl Brannen, porque funcionará mesmo no caso em que há fios cruzados e você não pode reorganizá-los em uma única folha de material resistivo.

Deixe o o potencial elétrico em $ A $ será $ V_A $ e aquele em $ B $ será $ V_B $. Além disso, deixe o potencial no fio que conecta $ R_1 $ a $ R_2 $ e $ R_3 $ ser $ V_C $ e deixe o potencial no fio conectando $ R_4 $ a $ R_3 $ e $ R_5 $ seja $ V_D $. Sabemos que a corrente em cada resistor deve ser igual à diferença de potencial dividida pela resistência, então temos $$ I_1 = R_1 (V_A - V_C) $$$$ I_2 = R_2 (V_C - V_B) $$$$ I_3 = R_3 (V_C - V_D) $$$$ I_4 = R_4 (V_A - V_D) $$$$ I_5 = R_5 (V_D - V_B). $$

Também sabemos que a corrente deve ser conservada a cada junção, que nos dá $$ I_1 + I_2 = I_4 + I_5 $$$$ I_1 = I_2 + I_3 $$$$ I_4 + I_3 = I_5, $$ mas a última dessas três equações é redundante porque pode ser derivada de as outras duas, então há sete equações no total, em nove incógnitas (cinco correntes e quatro potenciais).

Queremos calcular a resistência, que é dada por $ (V_A-V_B) / (I_1 + I_2). $ Como tudo é linear, podemos assumir sem perda de generalidade que $ V_B = 0 $ e $ V_A = 1 $. Isso nos dá sete equações em sete incógnitas, que podemos resolver para encontrar a resposta.

Não resolvi porque é um pouco trabalhoso (provavelmente usaria um sistema de álgebra computacional em vez de fazê-lo manualmente), mas deve dar a mesma resposta que o método de Carl Brannen.

Na sequência do comentário de um Googler à resposta de Carl Brannen:

Mas acho que $ R_1x_1 = R_4x_4 − R_3 $ e $ R_5x_5 = R_2x_2 − R_3. $ O que estou fazendo de errado? Por favor, explique

Se você seguir esta correção, (ou seja, troque seus subscritos 1 e 4 e 2 e 5 em sua consideração horizontal inicial - as declarações verticais não precisam ser alteradas), você obtém um resultado semelhante a:

$$ R = L / W = \ frac {R_1R_4 (R_2 + R_5) + R_2R_5 (R_1 + R_4) -R_3 (R_4 + R_5) (R_1 + R_2)} {(R_2 + R_5) (R_1 + R_4) -R_3 ((R_1 + R_2) + (R_4 + R_5))}. $$

mas sem os sinais negativos de cada termo $ R_3 $:

$$ R = L / W = \ frac {R_1R_4 (R_2 + R_5) + R_2R_5 (R_1 + R_4) + R_3 (R_4 + R_5) (R_1 + R_2) } {(R_2 + R_5) (R_1 + R_4) + R_3 ((R_1 + R_2) + (R_4 + R_5))}. $$

Este resultado também fornece os resultados corretos para ambos R tendendo a 0 e também R tendendo ao infinito, mas as definições dos R's agora são consistentes com o diagrama.

Aqui estão algumas etapas:

Nós temos:

$$ R_1x_1 = R_4x_4 - R_3, $$

$$ R_5x_5 = R_2x_2 - R_3. $$

Usando também:

$$ x_1 = x_2 + 1, $$

$$ x_5 = x_4 + 1, $$

e eliminando $ x_1 $ e $ x_5 $ das equações horizontais, obtemos:

$$ R_1x_2 + R_1 = R_4x_4 - R_3, $$

$$ R_2x_2 - R_3 = R_5x_4 + R_5. $$

Estes resolvem para dar:

$$ x_4 = \ frac {R_1R_5 + R_1R_3 + R_1R_2 + R_2R_3} {R_2R_4 - R_1R_5 } $$

$$ x_2 = \ frac {R_1R_5 + R_3R_5 + R_3R_4 + R_4R_5} {R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ x_1 = \ frac {R_2R_4 + R_3R_5 + R_3R_4 + R_4R_5} {R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ x_5 = \ frac {R_1R_3 + R_1R_2 + R_2R_3 + R_2R_4} {R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ W = \ frac {R_3 (R_1 + R_2 + R_4 + R_5) + (R_2 + R_5) (R_1 + R_4)} {R_2R_4 - R_1R_5} $$

$$ L = \ frac {R_3 (R_1 + R_2) (R_4 + R_5) + R_1R_4 (R_2 + R_5) + R_2R_5 (R_1 + R_4)} {R_2R_4 - R_1R_5} $$

e finalmente

$$ R = L / W = \ frac {R_1R_4 (R_2 + R_5) + R_2R_5 (R_1 + R_4) + R_3 (R_4 + R_5) (R_1 + R_2)} {(R_2 + R_5) (R_1 + R_4) + R_3 ((R_1 + R_2) + (R_4 + R_5))}. $$

Curiosamente, se os resistores $ R_1, R_2, R_4, R_5 $ têm todos o mesmo valor, digamos $ \ rho $, então pode ser mostrado que a resistência de todo o circuito não dependerá de $ R_3 $ de forma alguma e será igual a $ \ rho $.

Acho que esta fórmula pode ajudá-lo:

$$ R_3 \ frac {R_1 + 3R_2} {R_4 + 3R_5} $$