A mecânica quântica é de fato uma teoria da probabilidade, mas é uma teoria de probabilidade não comutativa.

Portanto, não se trata apenas de ter medidas assinadas / complexas, mas sim de ter um quadro probabilístico não comutativo. A mecânica quântica foi desenvolvida, historicamente, antes das teorias de probabilidade não comutativa e eu acho que as pessoas em probabilidade modelaram a teoria de probabilidade não comutativa na mecânica quântica e não vice-versa. Um exemplo matemático de probabilidade não comutativa é a probabilidade livre introduzida por Voicolescu (é semelhante à mecânica quântica, mas na mecânica quântica alguns dos axiomas de Voicolescu sobre liberdade não são necessários).

A ideia da probabilidade não comutativa é estender a teoria da probabilidade usual explorando o fato de que as variáveis ​​aleatórias geralmente formam uma álgebra abeliana. Então você começa diretamente de $ C ^ * $ ou $ W ^ * $ algebra $ \ mathfrak {A} $ de variáveis ​​aleatórias, possivelmente não comutativas, e introduz medidas (não comutativas, complexas) como o dual topológico $ \ mathfrak {A} '$. A interpretação em termos da mecânica quântica é que os estados são as probabilidades não comutativas, ou seja, os elementos positivos e normais de $ \ mathfrak {A} '$, enquanto os observáveis ​​são geralmente considerados os elementos auto-adjuntos afiliados para $ \ mathfrak {A} $ (ie operadores possivelmente ilimitados $ a $ cuja família espectral $ \ bigl (P_ {t} (a) \ bigr) _ {t \ in \ mathbb {R}} \ subconjunto \ mathfrak {A} $). Os conceitos usuais de probabilidade estendem-se, mutatis mutandis , a esta estrutura; por exemplo. a avaliação $ \ mathbb {E} _ \ omega (a \ in [0,1]) $, dando a probabilidade de encontrar um valor no intervalo $ [0,1] $ para o observável $ a $, no estado $ \ omega $, é dado por $ \ omega \ bigl (P_1 (a) -P_0 (a) \ bigr) $.

Vou tentar explicar por que e como os operadores de densidade na mecânica quântica correspondem a variáveis ​​aleatórias na teoria de probabilidade clássica, algo que nenhuma das outras respostas tentou fazer.

Vamos trabalhar em um espaço quântico bidimensional. Usaremos a notação de sutiã física padrão. Um estado quântico é um vetor coluna neste espaço, e vamos representar um vetor coluna como $ \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle. $ Um vetor linha é $ \ gamma \ langle 0 | + \ delta \ langle 1 | \, $.

Agora, você pode pensar que uma distribuição de probabilidade é uma medida de estados quânticos. Você pode pensar dessa forma, mas acontece que isso é muita informação. Por exemplo, considere duas distribuições de probabilidade em estados quânticos. Primeiro, vamos analisar a distribuição de probabilidade

$$ \ begin {array} {cc} | 0 \ rangle & \ mathrm {com \ probabilidade \} 2/3, \\ | 1 \ rangle & \ mathrm {com \ probabilidade \} 1/3. \ end {array} $$

A seguir, vamos analisar a distribuição de probabilidade $$ \ begin {array} {cc} \ sqrt {{2} / {3}} \, \ left | 0 \ right \ rangle + \ sqrt {1/3} \, \ left | 1 \ right \ rangle & \ mathrm {com \ probabilidade \} 1 / 2, \\ \ sqrt {{2} / {3}} \, \ left | 0 \ right \ rangle - \ sqrt {1/3} \, \ left | 1 \ right \ rangle & \ mathrm {com \ probabilidade \} 1 / 2 \ end {array} $$

Acontece que essas duas distribuições de probabilidade são indistinguíveis. Ou seja, qualquer medição que você fizer em um dará exatamente a mesma distribuição de probabilidade de resultados que você fez no outro. A razão para isso é que $$ \ frac {2} {3} | 0 \ rangle \ langle0 | + \ frac {1} {3} | 1 \ rangle \ langle 1 | $$ e $$ \ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {2/3} \ left | 0 \ right \ rangle + \ sqrt {1/3} \, \ left | 1 \ right \ rangle \ right) \ left (\ sqrt {2/3} \ left \ langle 0 \ right | + \ sqrt {1/3} \, \ left \ langle 1 \ right | \ right) + \ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {{2} / {3}} \ left | 0 \ right \ rangle - \ sqrt {1/3} \, \ left | 1 \ right \ rangle \ direito) \ left (\ sqrt {2/3} \ left \ langle 0 \ right | - \ sqrt {1/3} \, \ left \ langle 1 \ right | \ right) $$ são a mesma matriz.

Ou seja, uma distribuição de probabilidade em estados quânticos é uma distribuição excessivamente especificada e é bastante difícil de trabalhar.Podemos prever qualquer resultado experimental para uma distribuição de probabilidade em estados quânticos se conhecermos o operador de densidade correspondente, e muitas distribuições de probabilidade produzirem o mesmo operador de densidade.Se tivermos uma densidade de probabilidade $ \ mu_v $ nos estados quânticos $ v $, podemos prever qualquer resultado experimental do operador de densidade $$ \ int v v ^ * d \ mu_v \ ,. $$

Então, para a teoria da probabilidade quântica, em vez de trabalhar com distribuições de probabilidade em estados quânticos, trabalhamos com operadores de densidade.

Os estados clássicos correspondem a vetores ortonormais no espaço de Hilbert, e as distribuições clássicas de probabilidade correspondem a operadores de densidade diagonais.

Você certamente poderia modelar qualquer quantum observável como uma variável aleatória.

O problema surge quando você tem vários observáveis, que você pode tentar modelar como variáveis aleatórias clássicas com alguma distribuição conjunta.A partir dessa distribuição conjunta, você pode calcular várias probabilidades (como $ \ textrm {Prob} (Y \ neq X) $, por exemplo), de acordo com as regras padrão que você aprendeu em suas aulas de probabilidade de graduação.

O problema é que, em geral, nenhuma distribuição conjunta pode produzir as probabilidades que são previstas pela mecânica quântica (e observadas em laboratório).

Por exemplo, para variáveis aleatórias clássicas, é fácil provar que não importa qual seja a distribuição conjunta de $ X, Y $ e $ Z $, você tem $$ \ textrm {Prob} (X \ neq Z)\ leq \ textrm {Prob} (X \ neq Y) + \ textrm {Prob} (Y \ neq Z) $$

Para observáveis quânticos, tais desigualdades podem ser violadas.Portanto, você precisa de um formalismo diferente.

Embora seja certamente verdade que a Teoria de Probabilidade Quântica (QPT) é uma estrutura totalmente diferente da Teoria de Probabilidade Clássica (Kolmogoroviana) (CPT) (especificamente porque a estrutura do evento é não booleana e a estrutura de variável aleatória não é comutativa ), ainda podemos identificar similaridade formal suficiente para usar a terminologia clássica. Em particular, ainda podemos dar uma resposta satisfatória à questão principal do OP, que em minha leitura é:

Esta variável aleatória [ou seja, Operador hermitiano] de alguma forma relacionado à minha definição ignorante [ou seja, função mensurável]

A resposta que veremos é um retumbante sim. A razão pela qual isso não é óbvio é porque os físicos não tendem a expressar o formalismo QM em uma linguagem probabilística. Então vamos fazer isso agora ...

Primeiro observe que enquanto o espaço mensurável subjacente em CPT tem a forma $ \ langle \ Omega, \ Sigma (\ Omega) \ rangle $, o espaço mensurável subjacente em QPT tem a forma $ \ langle \ mathscr {H}, \ Pi (\ mathscr {H}) \ rangle $, para algum Espaço de Hilbert complexo $ \ mathscr {H} $ e a rede de projeção correspondente $ \ Pi (\ mathscr {H}) $.

Em segundo lugar, observe que embora usemos uma medida de Kolmogorov $ \ mu $ para criar o espaço de probabilidade clássico $ \ langle \ Omega, \ Sigma (\ Omega), \ mu \ rangle $, usamos uma medida de Gleason $ \ gamma $ para fazer o espaço de probabilidade quântica $ \ langle \ mathscr {H}, \ Pi (\ mathscr {H}), \ gamma \ rangle $. (Um resultado chamado Teorema de Gleason estabelece a relação entre essas medidas e os operadores convencionais de densidade.)

Mas e as variáveis ​​aleatórias?

Aqui precisamos ser um pouco sorrateiros e observar que, quando se trata de calcular probabilidades no CPT, o cara que faz todo o trabalho não é realmente a função mensurável $ X: \ Omega \ to \ mathbb {R} $, mas sim seu inverso, considerado como uma função de conjunto (vamos chamá-la de $ \ sigma $):

$$ \ sigma: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ ni \ bigtriangleup \ mapsto X ^ {- 1} (\ bigtriangleup) \ in \ Sigma (\ Omega) $$

Especificamente, se você deseja calcular a probabilidade de $ X $ ter um valor em algum subconjunto $ \ bigtriangleup \ in \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) $, primeiro coloque esse subconjunto de volta em $ \ Sigma (\ Omega) $ e, em seguida, aplique $ \ mu $.

Em outras palavras, em vez de trabalhar com a variável aleatória $ X $, podemos trabalhar com sua irmã $ \ sigma: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ to \ Sigma (\ Omega) $, que satisfaz os axiomas do que é chamado de medida com valor definido (SVM).

Qual é o problema dessa formulação alternativa de uma variável aleatória clássica?

Bem, esta formulação tem uma analogia perfeita na mecânica quântica; a saber, o de uma Medida com Valor de Projeção (PVM), que é um mapa $ \ pi: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ to \ Pi (\ mathscr {H}) $, satisfazendo alguns axiomas simples análogos às propriedades de um SVM (por exemplo, conjuntos disjuntos Borel mapeiam para projetores ortogonais).

Mas agora podemos empregar o Teorema Espectral da análise funcional para construir um operador auto-adjunto equivalente $ A: \ mathscr {H} \ to \ mathscr {H} $ para este PVM. É o operador auto-adjunto $ A $ que acaba sendo mais conveniente computacionalmente para calcular estatísticas do que o PVM subjacente, que é mais facilmente interpretado como uma variável aleatória.

Eu deixei de fora alguns detalhes que você pode encontrar facilmente em qualquer bom livro sobre análise funcional, mas a principal lição é esta. Você pode expressar a versão do QM tradicionalmente ensinada em cursos de física em roupas mais teóricas de medida e, quando o faz, é a coisa mais natural do mundo pensar em um operador de densidade como uma medida de probabilidade e um operador auto-adjunto como uma variável aleatória.

(A propósito, sua suposição de que QM lida com probabilidades negativas está incorreta. O Gleason mede esse algoritmo admite que todos geram probabilidades comuns entre 0 e 1, inclusive, que são usadas para prever frequências relativas de resultados experimentais de acordo com o padrão Regra de Nascido.)

Eu acredito que é um equívoco pensar que a probabilidade clássica faz sentido tanto quanto a mecânica quântica, com seus cálculos de probabilidade "peculiares", faz sentido.

Vou ser um pouco malicioso aqui e farei um ataque amigável em seu primeiro parágrafo: realmente faz sentido?

Claro que faz todo o sentido como uma definição teórica de medidas, mas como você sabe que representa probabilidades para eventos aleatórios do mundo real? O que significa "probabilidade"? Você tem um ponto de vista frequentista ou subjetivista ao dar significado à palavra? Acho que só "entendemos" a probabilidade clássica na medida em que estamos simplesmente acostumados a ela.

A forma como o primeiro parágrafo faz sentido se deve, acredito, principalmente a Kolmogorov. Sua grande contribuição foi entender que a teoria da medida nos dá uma maneira de definir eventos de forma rigorosa, definir teoricamente e mostrar que o cálculo de "probabilidades" por meio de sua medida nos dá um sistema matemático que reproduz as intuições de Pascal, Laplace e assim por diante sobre probabilidade. / p>

Você pode olhar para Kolmogorov como um físico aqui: ele está fazendo postulados de que os eventos não serão representados por coisas como conjuntos de Vitali e que as intuições de Pascal, de acordo com a lei do terceiro excluído isso, são razoáveis.

Mas vêm os físicos experimentais e mostram, experimentalmente, que este framework não modela todas as situações no mundo da física experimental. Em particular, a Desigualdade de Bell, que é uma Desigualdade de Fréchet, pode ser violada. Existem proposições que não podem ser classicamente unidas pelo operador "e": $ X $ tem momento $ p $ E $ X $ tem posição $ x $ não tem significado na Natureza. $ \ sigma $ - e álgebras booleanas simplesmente não podem descrever sistemas do mundo real, e este é um fato experimental . Consulte a resposta de Valter Moretti à pergunta de Física SE "Lógica clássica em relação à matemática QM".

Os observáveis quânticos fazem sentido porque predizem resultados medidos experimentalmente, enquanto a probabilidade clássica não.Este último é falsificado experimentalmente.

Um sistema quântico pode ser descrito por um conjunto de observáveis ​​em evolução da mecânica quântica. Isso não é o mesmo que descrever um sistema em termos de uma quantidade estocástica descrita por um único número escolhido aleatoriamente. Um sistema quântico realmente tem vários valores de qualquer observável não-nítido, consulte

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0104033.

Essas diferentes versões do sistema podem influenciar os resultados de experimentos, como experimentos de interferência e experimentos EPR.

Em um experimento de interferência, as quantidades usadas para prever as probabilidades dos resultados das medições não obedecem às regras de probabilidade conforme observado em algumas das respostas acima. Isso é o resultado de várias versões do sistema evoluindo e sendo recombinadas para produzir um resultado.

Em experimentos EPR, cada sistema é medido e há várias versões de cada resultado de medição. Como resultado, as correlações entre os resultados das medições podem ser estabelecidas quando eles são comparados, em vez de quando cada medição individual ocorre, consulte

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9906007

https://arxiv.org/abs/1109.6223.

Talvez você possa se interessar por outra interpretação das matrizes hermitianas.Em um artigo recente, propusemos vê-los como apostas em um experimento quântico. Em seguida, reforçamos o comportamento racional na maneira como o sujeito aceita / rejeita essas apostas, introduzindo algumas regras simples.

Essas regras geram, no caso clássico, a teoria Bayesiana da probabilidade via teoremas da dualidade.

No cenário quântico, eles geram a teoria Bayesiana generalizada para o espaço das matrizes Hermitianas.Essa teoria é a mecânica quântica: de fato, derivamos todos os seus quatro postulados da teoria bayesiana generalizada.Também nos leva a reinterpretar as principais operações da mecânica quântica como regras de probabilidade: regra de Bayes (medição), marginalização (rastreamento parcial), independência (produto tensorial).

Resumindo, obtivemos que a mecânica quântica é a teoria Bayesiana dos números complexos.

http://arxiv.org/abs/1605.08177