Embora seja certamente verdade que a Teoria de Probabilidade Quântica (QPT) é uma estrutura totalmente diferente da Teoria de Probabilidade Clássica (Kolmogoroviana) (CPT) (especificamente porque a estrutura do evento é não booleana e a estrutura de variável aleatória não é comutativa ), ainda podemos identificar similaridade formal suficiente para usar a terminologia clássica. Em particular, ainda podemos dar uma resposta satisfatória à questão principal do OP, que em minha leitura é:
Esta variável aleatória [ou seja, Operador hermitiano] de alguma forma relacionado à minha definição ignorante [ou seja, função mensurável]
A resposta que veremos é um retumbante sim. A razão pela qual isso não é óbvio é porque os físicos não tendem a expressar o formalismo QM em uma linguagem probabilística. Então vamos fazer isso agora ...
Primeiro observe que enquanto o espaço mensurável subjacente em CPT tem a forma $ \ langle \ Omega, \ Sigma (\ Omega) \ rangle $, o espaço mensurável subjacente em QPT tem a forma $ \ langle \ mathscr {H}, \ Pi (\ mathscr {H}) \ rangle $, para algum Espaço de Hilbert complexo $ \ mathscr {H} $ e a rede de projeção correspondente $ \ Pi (\ mathscr {H}) $.
Em segundo lugar, observe que embora usemos uma medida de Kolmogorov $ \ mu $ para criar o espaço de probabilidade clássico $ \ langle \ Omega, \ Sigma (\ Omega), \ mu \ rangle $, usamos uma medida de Gleason $ \ gamma $ para fazer o espaço de probabilidade quântica $ \ langle \ mathscr {H}, \ Pi (\ mathscr {H}), \ gamma \ rangle $. (Um resultado chamado Teorema de Gleason estabelece a relação entre essas medidas e os operadores convencionais de densidade.)
Mas e as variáveis aleatórias?
Aqui precisamos ser um pouco sorrateiros e observar que, quando se trata de calcular probabilidades no CPT, o cara que faz todo o trabalho não é realmente a função mensurável $ X: \ Omega \ to \ mathbb {R} $, mas sim seu inverso, considerado como uma função de conjunto (vamos chamá-la de $ \ sigma $):
$$ \ sigma: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ ni \ bigtriangleup \ mapsto X ^ {- 1} (\ bigtriangleup) \ in \ Sigma (\ Omega) $$
Especificamente, se você deseja calcular a probabilidade de $ X $ ter um valor em algum subconjunto $ \ bigtriangleup \ in \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) $, primeiro coloque esse subconjunto de volta em $ \ Sigma (\ Omega) $ e, em seguida, aplique $ \ mu $.
Em outras palavras, em vez de trabalhar com a variável aleatória $ X $, podemos trabalhar com sua irmã $ \ sigma: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ to \ Sigma (\ Omega) $, que satisfaz os axiomas do que é chamado de medida com valor definido (SVM).
Qual é o problema dessa formulação alternativa de uma variável aleatória clássica?
Bem, esta formulação tem uma analogia perfeita na mecânica quântica; a saber, o de uma Medida com Valor de Projeção (PVM), que é um mapa $ \ pi: \ mathscr {B} (\ mathbb {R}) \ to \ Pi (\ mathscr {H}) $, satisfazendo alguns axiomas simples análogos às propriedades de um SVM (por exemplo, conjuntos disjuntos Borel mapeiam para projetores ortogonais).
Mas agora podemos empregar o Teorema Espectral da análise funcional para construir um operador auto-adjunto equivalente $ A: \ mathscr {H} \ to \ mathscr {H} $ para este PVM. É o operador auto-adjunto $ A $ que acaba sendo mais conveniente computacionalmente para calcular estatísticas do que o PVM subjacente, que é mais facilmente interpretado como uma variável aleatória.
Eu deixei de fora alguns detalhes que você pode encontrar facilmente em qualquer bom livro sobre análise funcional, mas a principal lição é esta. Você pode expressar a versão do QM tradicionalmente ensinada em cursos de física em roupas mais teóricas de medida e, quando o faz, é a coisa mais natural do mundo pensar em um operador de densidade como uma medida de probabilidade e um operador auto-adjunto como uma variável aleatória.
(A propósito, sua suposição de que QM lida com probabilidades negativas está incorreta. O Gleason mede esse algoritmo admite que todos geram probabilidades comuns entre 0 e 1, inclusive, que são usadas para prever frequências relativas de resultados experimentais de acordo com o padrão Regra de Nascido.)