Estritamente falando, uma matriz não é um tensor, é uma representação de um tensor em uma base particular. Você não pode dizer se uma dada matriz é um tensor usando apenas seus componentes. Você teria que saber como ele se transforma em diferentes referenciais.

Para o tensor de campo eletromagnético, por exemplo, você poderia escrever as equações para alguma configuração física de campos eletromagnéticos e, em seguida, escrever as equações que descrevem o mesma configuração física em um referencial diferente, e mostrar que a aplicação da transformação de Lorentz correspondente duas vezes converte de um para o outro.

$$ F ^ {\ mu \ nu} _ \ text {frame 2} = [\ Lambda (1,2)] _ \ alpha ^ \ mu [\ Lambda (1,2)] _ \ beta ^ \ nu F ^ {\ alpha \ beta} _ \ text {frame 1} $$

onde usei $ \ Lambda (1,2) $ para denotar a transformação de Lorentz que se transforma do quadro 1 para o quadro 2. Fazer esse cálculo completo é um tanto tedioso, razão pela qual muitos livros não analisá-lo em todos os detalhes, eles apenas o fazem parecer plausível. (Mas pelo menos Einstein teve que fazer isso para mostrar que a teoria funcionava dessa maneira.)

De qualquer forma, a questão é que a natureza tensorial de uma quantidade é realmente uma consequência da lei de transformação, não da representação (a matriz).

A resposta à sua pergunta depende muito do que você considera fundamental e do que considera ser derivado.

Um tratamento moderno e manifestamente relativista de E&M definiria o tensor de campo eletromagnético como

$$ F ^ a = q \ mathcal {F} ^ a_bv ^ b, $$

onde $ \ mathcal {F} $ é o campo tensor e $ F $ são as quatro forças agindo em uma partícula. Por esta definição, é manifestamente claro que $ \ mathcal {F} $ é um tensor; é um operador linear que pega um vetor e cria outro. Nesta abordagem, o trabalho que resta a fazer é mostrar como os componentes de $ \ mathcal {F} $ se relacionam com os usuais $ \ mathbf {E} $ e $ \ mathbf {B} $ três vetores. Para obter um tratamento neste estilo, consulte meu livro SR, http://www.lightandmatter.com/sr/, seção 10.3.

Uma abordagem mais simples seria definir $ \ mathbf {E} $ e $ \ mathbf {B} $ como de costume em uma aula de física do primeiro ano, então encontre suas leis de transformação. (Isso é feito, por exemplo, no livro clássico de Purcell, de 1965, Electricity and Magnetism. A primeira edição pode ser encontrada gratuitamente online porque foi desenvolvida sob uma bolsa da NSF. Há também uma bela edição moderna da Cambridge University Press.) Feito isso, você deve colocá-los juntos como os componentes de $ \ mathcal {F} $ e mostrar que essas leis de transformação fazem $ \ mathcal {F} $ transformar-se em um tensor.

Teríamos que provar que o tensor do campo eletromagnético se transforma em tensor por cálculo bruto?

Não se você aceitar que a derivada de um tensor é um tensor com uma classificação covariante superior.

Em SR, o potencial elétrico escalar e o potencial magnético vetorial são componentes de um quatro-vetor (um tensor de classificação 1), o potencial quatro eletromagnético $ A _ {\ mu} $.

Então, é o caso que o seguinte é um tensor covariante anti-simétrico de categoria 2, o tensor eletromagnético:

$$ F _ {\ mu \ nu} = \ parcial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$

Alternativamente, existe algum atalho inteligente e mais óbvio que você poderia usar para chegar à mesma conclusão?

Na notação livre de componentes, temos a equação tensorial

$$ \ mathbf F \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ mathbf {dA} $$

que define o tensor eletromagnético como a derivada exterior do quadripote eletromagnético ntial e não deixa dúvidas de que $ \ mathbf F $ é um tensor.