O gráfico principal abaixo mostra a energia potencial de uma massa no sistema Terra-Lua sob a suposição irreal de que o sistema não está girando .

ou seja, Isso reflete (no momento) todas, exceto uma das 4 respostas dadas, assumindo que este ponto é definido onde a força gravitacional sobre uma massa devida à Terra e à Lua são iguais e opostas (ou seja, no ponto onde a energia potencial total [curva vermelha] está no máximo, porque a força é, obviamente, o gradiente do potencial, e mostro isso como uma linha preta).

Isso é errado , porque negligencia o potencial centrífugo causado pelo movimento orbital. Embora a inclusão deste potencial apenas mude o terceiro número significativo da quantidade de energia necessária para levar algo à lua, ele move o ponto em que um objeto co-giratório começa a cair em direção à lua significativamente mais perto da terra.

No gráfico, usei a distância média entre a Terra e a Lua de 384.000 km. O ponto P onde a força (desprezando a força centrífuga) é zero é de cerca de 344.000 km .

Incluindo o potencial centrífugo (veja o gráfico abaixo: crédito NASA) na co-rotação enquadrar e calcular o "ponto L1" onde o potencial é realmente maximizado, é descrito aqui e envolve a resolução de uma função quíntica. No entanto, como a massa da lua é muito menor do que a massa da Terra, pode-se usar a aproximação "esfera de colina", que o ponto L1 é separado da lua por $ r = R (M_2 / 3M_1) ^ {1/3} $, onde $ R $ é a separação Terra-Lua e $ M_2 / M_1 $ é a relação de massa Lua / Terra. Somando os números resulta $ R-r = $ 323.000 km , então esta não é uma pequena correção.

Observe, entretanto, que um corpo que passa pelo ponto L1 que estava orbitando a Terra não pode simplesmente cair na lua. Tem muito momento angular. O ponto L1 marca o ponto onde ele para de orbitar a terra e começa a orbitar a lua. Nesse sentido, está "caindo" em direção à lua.

Editar: As complicações finais são que (i) a distância Terra-Lua não é constante e, portanto, o ponto L1 também não é. Na verdade, um wat melhor para citar a solução é que o equilíbrio da força gravitacional é alcançado em 90% da distância Terra-Lua, enquanto a distância na qual o objeto cai em direção à Lua é de cerca de 84 % da distância Terra-Lua. (ii) O sistema Terra-Lua não está isolado e a gravidade do Sol desempenha um papel.

Também observo que isso fazia parte da missão conceito para a missão SMART-1 à lua, em que uma órbita foi projetada para que o satélite espirasse para fora da Terra até o ponto L1 e fosse então capturado pela lua. Ele "passou por uma posição 310.000 km da Terra e 90.000 km da Lua em deriva livre".

Incluindo os efeitos do potencial centrífugo.

Defina as forças na partícula de teste da Terra e da Lua iguais: $$ F_E = F_M $$$$ G \ frac {M_EM _ {\ text {partícula de teste}}} {R_E ^ 2} = G \ frac { M_MM _ {\ text {test particle}}} {R_M ^ 2} $$ O $ G $ se $ M _ {\ text {test particle}} $ s cancelam, deixando você com $$ \ frac {M_E} {R_E ^ 2} = \ frac {M_M} {R_M ^ 2} $$ mas você sabe que $ R_M $, a distância entre a partícula de teste e a Lua, é a distância entre a Terra e a Lua menos a distância entre a partícula de teste e a Terra ($ R_E $). Simplificamos e obtemos $$ \ frac {M_E} {R_E ^ 2} = \ frac {M_M} {(D_ {E \ para M} -R_E) ^ 2} $$ e depois $$ D_ {E \ para M } ^ 2-2R_E \ vezes D_ {E \ para M} + R_E ^ 2 = R_E ^ 2 \ frac {M_M} {M_E} $$ Isso simplifica para $$ \ left (1- \ frac {M_M} {M_E} \ direita) R_E ^ 2-2R_E \ vezes D_ {E \ a M} + D_ {E \ a M} ^ 2 = 0 $$ Você pode resolver esta equação para obter: $$ R_E = \ frac {D_ {E \ a M}} {1+ \ sqrt {\ frac {M_M} {M_E}}} $$

$ F_E $ é a força da Terra na partícula de teste.

$ F_M $ é a força da Lua na partícula de teste.

$ M_E $ é a massa da Terra.

$ M_M $ é a massa da Lua .

$ G $ é a constante gravitacional universal.

$ M _ {\ text {test particle}} $ é a massa da partícula teste.

$ R_E $ é a distância da partícula de teste ao centro da Terra.

$ R_M $ é a distância da partícula de teste ao centro da Lua.

$ D_ { E \ to M} $ é a distância entre a Terra e a Lua.

A Terra tem cerca de 100x mais massa do que a lua, e como $ F \ propto M / r ^ 2 $, a distância da Terra ao astronauta teria que ser cerca de $ \ sqrt {100} $ = 10x mais longe a lua para o astronauta. Portanto, o astronauta cai "para cima" cerca de 90% do caminho até a lua.

[As respostas anteriores vão muito mais em detalhes (e são mais tecnicamente precisas), mas vale a pena uma rápida aproximação, já que poucas crianças de nove anos vão entender os pontos de Lagrange.]

No ponto Lagrange L1.Especificamente para Terra-Lua L1, estes cálculos mostram 326054 km.

Basta usar uma equação que derroga as duas forças que puxam os objetos (gravitação universal) para obter o ponto de equilíbrio, algo como (já simplificado): M / d ^ 2 = m / (384000000 - d) ^ 2

Onde M é a massa da terra, m é a massa da lua ed a distância da terra. Conforme d fica maior do que esse valor, você começa a cair na lua

Eu obtenho um valor de aproximadamente 3,4 10 ^ 8 metros (mas não estou usando minha calculadora, então calcule novamente, desculpe!)

Para calcular isso sozinho, você precisa saber que a força da gravidade exercida sobre um objeto (para exapmle You) é igual a $ F = GMm / r ^ 2 $, onde $ G $ é a constante da gravidade, $ M $ é a massa do objeto grande ($ M_m $ para a lua, $ M_e $ para a terra), $ m $ é a massa do pequeno objeto. $ r $ é a distância do centro da massa.

Agora você precisa saber as massas da Terra e da Lua e a distância entre elas. O ponto em que a terra e a lua estão atraindo você com a mesma força (após o qual você cairá na lua) é dado por essas equações: $ GM_m m / r ^ 2_m = GM_e / r ^ 2_e $ e $ r_m + r_e = \ text {Distance Between Moon And Earth} $

Observe que além deste ponto, a Lua atrai você melhor do que a Terra, então você começará a cair.

Na primeira equação, você pode substituir um dos $ r $ 's com $ \ text {Distância entre a Lua e a Terra} - \ text {outro R} $ Além disso, a constante gravitacional $ G $ pode ser reduzida.

Todos os dados necessários você pode encontrar na Wikipedia

Observe que esta é uma solução simplificada que assume que você está indo direto para a Lua. A Lua e a Terra estão em movimento constante, portanto, você precisa fazer alguns cálculos melhores e mais complexos no caso de espaçonaves.

A distância que consegui foi de 346 084km. Aqui estão os cálculos matemáticos que usei:

• ($ E_m $) Massa da Terra = $ 5,9736 \ times10 ^ {24} $ kg
• ($ M_m $) Massa lunar = $ 7,3477 \ times10 ^ {22} $ kg
• ($ D_ {em} $) distância média Terra-Lua = 384 467 km
• ($ G $) constante gravitacional = $ 6,67384 \ times10 ^ {-11} $
• ($ W $) meu peso = 85 kg
• ($ D_ {fe} $) distância da terra =?

A força de atração entre dois objetos é calculada por $$ F = \ frac {G M_1 M_2} ​​{d ^ 2} $$ Assim, a força de atração da terra é $$ F_e = \ frac {G Em W} {D_ { fe} ^ 2} $$ e a força de atração da lua é $$ F_m = \ frac {G M_m W} {(D_ {em} -D_ {fe}) ^ 2} $$

I fez um script que começou com $ D_ {fe} = 1 $ km, calculou $ F_e $ e $ F_m $, e se $ F_e $ fosse maior que $ F_m $, $ D_ {fe} $ aumentaria em 1km e as forças seria calculado novamente. Em $ D_ {fe} $ = 346 084km, $ F_e $ é 282 922,71N e $ F_m $ é 282 923,03N e esse é o ponto onde a força de atração da lua será mais forte do que a da terra.

Veja como resolvi este problema:

1. A força no objeto (massa m) da Terra (massa Me) tem que ser igual à força da Lua (massa Mm).
2. A distância do objeto da Terra é R e, portanto, com Rem sendo a distância entre a Terra e a Lua, a distância da Lua é Rem-R

Lei de Newton: G.Me.m / R ^ 2 = G.Mm.m / (Rem-R) ^ 2Solve para R: R = Rem (Me- (sqrt (MeMm)) / Me-Mm

Com essa matemática, obtenho um resultado de 346.019 km (varia dependendo dos valores de Me, Mm e Rem).