A string está ligeiramente inclinada em relação à horizontal $ \ theta $. Não é exatamente horizontal. O pequeno ângulo é tal que a tensão na corda neutraliza exatamente a gravidade, $ T \ sin (\ theta) = m g $. Portanto, há na verdade uma força atuando para cima que neutraliza a gravidade e é fornecida pela corda.

Você está certo que se $ \ theta = 0 $ exatamente, haveria um problema e o objeto necessariamente cairia um pouco.

Temos a bola orbitando a uma distância $ R $ do centro de rotação e a corda inclinada no ângulo $ \ theta $ em relação ao horizontal.

Duas forças principais atuam na bola: gravidade $ mg $ ($ m $ é a massa da bola, $ g $ a aceleração gravitacional da Terra) e $ F_c $, a força centrípeta necessária para manter a bola girando a uma taxa constante. $ F_c $ é dado por:

$$ F_c = \ frac {mv ^ 2} {R}, $$

onde $ v $ é a velocidade orbital, ou seja, a velocidade da bola em sua trajetória circular.

A trigonometria também nos diz que se $ T $ é a tensão na corda, então:

$$ T \ cos \ theta = F_c. $$

Da mesma forma, como a bola não está se movendo na direção vertical, $ F_ {up} $:

$$ T \ sin \ theta = F_ {up} = mg. $$

Desta relação podemos inferir:

$$ T = \ frac {mg} {\ sin \ theta}. $$

E assim:

$$ \ frac {mg} {\ tan \ theta} = F_c = \ frac {mv ^ 2} {R}. $$

Ou:

$$ \ tan \ theta = \ frac {gR} {v ^ 2}. $$

Daqui se segue que para o pequeno $ \ tan \ theta $ e, portanto, o pequeno $ \ theta $ precisamos de $ v $ grande. Mas com $ v $ mais baixo, $ \ theta $ aumenta. Observe também que $ \ theta $ é invariante para a massa $ m $.

Agradeço que isso já tenha sido respondido corretamente, mas acho que pode valer a pena adicionar um resumo simplista:

Quando a bola está girando, há uma força atuando sobre ela que a empurra para longe o centro de rotação. A única maneira de se afastar desse ponto é movendo-se para cima (porque a corda impede que ele se mova para fora sem subir). Portanto, se a força que empurra a bola para fora for maior do que a força que a puxa para baixo (gravidade), ela vai subir.

Eu discordo de todas as explicações acima. Se você estiver girando uma bola horizontalmente e deixar a corda, ela cairia imediatamente se estivesse em um local sem ar. Em outro cenário, que é o realista, ela não cai porque a bola agita o ar ao seu redor, criando assim uma zona de menor pressão de ar no plano onde está sendo girada. Portanto, o ar abaixo dele cria uma pressão para cima para segurar o objeto em rotação.

Esta é a teoria por trás do funcionamento de um helicóptero. A propósito, você já ouviu falar da arma Ninja Shuriken?